Funções do 1º e 2º graus
Função do 1º grau
É uma função de IR em IR, ou seja, pertence ao conjunto dos números reais
f(x) = ax + b ou y= ax + b
Onde a é o coeficiente de x e b é o termo constante.
Regra: a e b são números reais e a≠0
Se preferir o vídeo abaixo tem a postagem em vídeo e áudio:
Ex.: f(x) = 8x – 3 onde a = 8 e b = -3
f(x) = 5x onde a = 5 e b = 0
Construção do gráfico:
O gráfico é sempre uma reta.
Para construir um gráfico é necessário dois pares ordenados de pontos que pertençam a esta reta.
Depois colocamos no plano cartesiano e traçamos uma reta.
Então vamos fazer a função abaixo:
y = 3x -2
1º temos que encontras os pares ordenados e para isso escolhemos aleatoriamente dois valores para o x e assim construirmos o gráfico.
Vamos escolher x=1 e x=2
Para x = 1 teremos: y = 3x – 2 → y = 3 (1) – 2 → y = 3 – 2 → y = 1 par ordenado (1,1)
Para x = 2 teremos: y = 3x – 2 → y = 3 (2) – 2 → y = 6 – 2 → y = 4 par ordenado (2,4)
Encontramos então os pares ordenado (1,1) e (2,4)
2° Colocamos estes pares ordenados no plano cartesiano e traçamos uma reta
Podemos também determinar uma função de 1º grau partindo de um gráfico
Vamos a um exemplo:
Usamos a função y = ax + b
Agora é só substituir:
(0,6) → y= ax + b → 6 = a (0) + b → b = 6
(3,0) → y= ax + b → 0 = a (3) + b → 3 a + b = 0 → 3 a = – b → 3 a = – 6 → a = – 2
Sabemos agora que a = – 2 e b = 6
Substituindo a e b fica assim a função: y = – 2 x + 6
ATENÇÃO: Resolver questões é a melhor maneira de aprender: Funções do 1º e 2º Graus – Problemas
Função do 2º Grau
Dados os números reais a, b e c (coeficientes da função), com a ≠ 0, chama-se função do 2º grau, ou função quadrática a função, definida por f(x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c
São exemplos de funções do 2º grau:
a) f(x) = 4x2 –2x – 3, em que a = 4, b = -2 e c = – 3
b) f(x) = 2x2 –3x, em que a = 2, b = -3 e c = 0
c) y = -x2 + 5, onde a = -1, b = 0 e c = 5
d) y = 5x2, onde a = 5, b = 0 e c = 0
Gráfico da função do 2º grau
O gráfico de uma função do 2º grau é uma curva chamada parábola.
Vamos agora construir um gráfico da função de 2º grau
Exemplo: f(x) = 2x2 + 4x – 6
f(x) = ax2 + bx + c.
2x2 + 4x – 6 = 0
y = 2x2 + 4x – 6
ATENÇÃO: O coeficiente “c” indica o ponto de encontro de uma parábola com o eixo y
Para montar um gráfico da função de 2º grau nós devemos encontrar as coordenadas das raízes e do vértice.
1º Vamos achar as coordenadas das raízes
As raízes nos mostrarão a intersecção com o eixo x
As raízes você encontra através de uma equação de 2º grau utilizando as fórmulas de Bhaskara:
Igualamos a equação da função a zero, ficando assim:
2x2 + 4x – 6 = 0
Primeiro encontramos o delta:
Sabemos que a= 2, b= 4 e c= -6
∆ = (4)² – 4.2. (– 6)
∆ = 16 – 8.(– 6)
∆ = 16 + 48
∆ = 64
Vamos encontrar as coordenadas das raízes:
Sabemos que a= 2, b= 4 e c= -6
Bom achamos as coordenadas x = 1 e -3
Vamos achar agora as coordenadas dos y
Para x = 1 temos,
y = 2x2 + 4x – 6 → y = 2.(1)² + 4(1) – 6 → y = 2.1 + 4 – 6 → y = 2 – 2
Então y = 0 primeira coordenada (1,0)
Para x = – 3 temos,
y = 2x2 + 4x – 6 → y = 2.(-3)² + 4(-3) – 6 → y = 2.9 – 12 – 6 → y = 18 – 18
Então y = 0 segunda coordenada (-3,0)
As coordenadas das raízes são (1,0) e (-3,0)
2º Devemos agora encontrar o vértice
Xv = -4/2.2 → -4/4 → Xv = -1
Yv = -64/ 4.2 → -64/ 8 → Yv = -8
As coordenadas do vértice é (-1, -8)
O que sabemos:
a > 0 então a concavidade da parábola é para cima
c = -6 então a parábola passará em -6 no eixo y
Vértice (-1,-8) Esta é a coordenada mais baixa da parábola
As coordenadas das raízes são (1,0) e (-3,0)
Agora fica fácil construirmos o gráfico:
Podemos também determinar uma função de 2º grau partindo de um gráfico
O processo é o mesmo da função do 1º grau, usando agora a fórmula do 2º grau
f(x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c
No gráfico temos:
As coordenadas das raízes são (1,0) e (-3,0)
Coeficiente c = -6
Agora podemos achar os coeficientes “a” e “b” através da fórmula do 2º grau
Vamos lá então:
Coordenadas (1,0)
y = ax2 + bx + c
0 = a(1)² + b (1) -6
a +b -6 = 0
b = 6 – a
Coordenadas (-3,0)
y = ax2 + bx + c
0 = a(-3)² + b (-3) -6
9a -3b -6 = 0
9a = 3b + 6
Sabemos que b = 6 – a
Logo:
Então:
b = 6 – a → b = 6 – 2 → b = 4
Logo,
a = 2 b = 4 c = -6
Agora podemos determinar a função:
f(x) = ax2 + bx + c
f(x) = 2x2 + 4x – 6
ATENÇÃO: Resolver questões é a melhor maneira de aprender: Funções do 1º e 2º Graus – Problemas